Inestabilidad de Turing en activador cuántico

Oct 15, 2023

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 15573 (2022) Citar este artículo

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La inestabilidad de Turing es un mecanismo fundamental de autoorganización fuera del equilibrio. Sin embargo, a pesar de la universalidad de su mecanismo esencial, la inestabilidad de Turing hasta ahora se ha investigado principalmente en sistemas clásicos. En este estudio, mostramos que la inestabilidad de Turing puede ocurrir en un sistema disipativo cuántico y analizamos sus características cuánticas, como el entrelazamiento y el efecto de la medición. Proponemos un oscilador paramétrico degenerado con amortiguamiento no lineal en óptica cuántica como una unidad activadora-inhibidora cuántica y demostramos que un sistema de dos de estas unidades puede sufrir inestabilidad de Turing cuando se acoplan de forma difusiva entre sí. La inestabilidad de Turing induce falta de uniformidad y entrelazamiento entre las dos unidades y da lugar a un par de estados no uniformes que se mezclan debido al ruido cuántico. La realización adicional de mediciones continuas en el sistema acoplado revela la falta de uniformidad causada por la inestabilidad de Turing. Nuestros resultados extienden la universalidad del mecanismo de Turing al ámbito cuántico y pueden proporcionar una perspectiva novedosa sobre la posibilidad de autoorganización cuántica sin equilibrio y su aplicación en tecnologías cuánticas.

La naturaleza muestra una variedad de órdenes que se autoorganizan a través de la ruptura espontánea de la simetría causada por interacciones internas dentro de los sistemas, como la magnetización espontánea, el crecimiento de cristales y la superconductividad1,2,3. En particular, los sistemas abiertos que no están en equilibrio pueden admitir una amplia variedad de patrones autoorganizados que no pueden ocurrir en los sistemas en equilibrio, llamados estructuras disipativas. Los ejemplos de estructuras disipativas incluyen patrones de convección de fluidos, oscilaciones láser, patrones y ondas químicas y patrones y ritmos biológicos4,5,6. La autoorganización y la formación de patrones también se han estudiado en sistemas cuánticos como los condensados ​​atómicos de Bose-Einstein y los iones atrapados7,8, los sistemas optomecánicos9 y los puntos cuánticos10. La sincronización cuántica11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, que recientemente ha ganado un interés creciente, también es un ejemplo de autoorganización cuántica sin equilibrio.

En 1952, Turing demostró que la diferencia entre las difusividades de las especies químicas que reaccionan puede desestabilizar los estados estacionarios uniformes y provocar la aparición espontánea de patrones periódicos no uniformes en sistemas espacialmente extendidos23. En 1972, Gierer y Meinhardt proporcionaron una explicación intuitiva de la inestabilidad de Turing al introducir el ahora bien conocido concepto de sistemas activador-inhibidor con automejora local e inhibición de largo alcance24. Posteriormente, se estudió la inestabilidad de Turing y los patrones resultantes en diversos sistemas, como los que experimentan reacciones químicas25,26,27 o morfogénesis biológica28,29,30, poblaciones ecológicas31,32,33 y sistemas ópticos no lineales34,35,36,37, 38,39,40. Los patrones de Turing también se han investigado teóricamente en sistemas estocásticos41,42,43,44 y sistemas en red45,46,47,48,49. La primera realización experimental de los patrones de Turing se logró en 199050, 40 años después del artículo seminal de Turing, seguida de la primera determinación experimental del diagrama de bifurcación51, utilizando la reacción clorito-yoduro-ácido malónico en un reactor de gel. El progreso reciente y las discusiones modernas sobre la inestabilidad de Turing se han revisado, por ejemplo, en la Ref. 52 e incluyen varios aspectos nuevos de los patrones de Turing, incluida la inestabilidad en sistemas de múltiples especies53,54, las influencias del crecimiento del dominio55,56,57,58 y los efectos de retraso y ruido59.

Los desarrollos recientes en nanotecnología han estimulado investigaciones tanto teóricas como experimentales de patrones e inestabilidad de tipo Turing en sistemas a micro y nanoescala, como ondas rebeldes en una cavidad con moléculas de puntos cuánticos60, medio Kerr vectorial61, generación de segundo armónico intracavitario62, microrresonadores longitudinales63, Kerr -microrresonadores activos64, microcavidades semiconductoras65 y una monocapa de bismuto66. Por lo tanto, el análisis sistemático de la posibilidad de inestabilidad de Turing en los sistemas cuánticos se está volviendo importante. En esta dirección de investigación, estudios pioneros sobre sistemas ópticos no lineales, por ejemplo, osciladores paramétricos ópticos38,39,40, han considerado la posibilidad de formación de patrones a través de la inestabilidad de tipo Turing34 y discutido los efectos de las fluctuaciones cuánticas35 y la compresión cuántica36. Sin embargo, debido a la dificultad de manejar una jerarquía infinita de ecuaciones para productos de operadores, el análisis se limitó al caso que puede tratarse mediante la ecuación diferencial estocástica aproximada de campos clásicos sujetos a fluctuaciones cuánticas37.

Recientemente, utilizando una ecuación maestra totalmente mecánica cuántica, se discutió la bifurcación en un sistema de un par de osciladores Stuart-Landau cuánticos acoplados desde el estado de muerte de amplitud uniforme al estado de muerte de oscilación no uniforme67,68,69, que puede ser considerada como una manifestación cuántica de la bifurcación tipo Turing analizada originalmente en un sistema clásico70. Aunque esta bifurcación es interesante, no es exactamente la inestabilidad de Turing en el sentido original porque el sistema considerado no es del tipo activador-inhibidor y no posee un estado estacionario homogéneo cuando el acoplamiento está ausente70. Además, la relación entre la bifurcación de Turing y las características cuánticas, como el entrelazamiento cuántico y la medición cuántica, no se ha estudiado en estos artículos67,68,69.

En este estudio, analizamos la inestabilidad de Turing en el sentido original de Turing23 y Gierer y Meinhardt24 en sistemas disipativos cuánticos en la configuración más simple, es decir, en un par de unidades acopladas simétricamente, proporcionando un modelo mínimo de sistemas activador-inhibidor cuánticos. Mostramos que un oscilador paramétrico degenerado con amortiguamiento no lineal puede comportarse como una unidad de activador-inhibidor cuántico y que el acoplamiento difusivo entre dos de tales unidades puede inducir la inestabilidad de Turing y conducir a la no uniformidad y al enredo entre las dos unidades, lo que da lugar a un par de unidades no uniformes. estados que se mezclan simétricamente debido al ruido cuántico. Además, demostramos que realizar mediciones continuas en el sistema acoplado rompe esta simetría y revela la verdadera asimetría causada por la inestabilidad de Turing. En la figura 1 se muestra un diagrama esquemático.

Inestabilidad cuántica de Turing. (a) Par de unidades de activador-inhibidor cuántico. (b) El acoplamiento difusivo entre las dos unidades puede inducir la inestabilidad de Turing, lo que conduce a la falta de uniformidad y el entrelazamiento entre las unidades y produce un par de estados no uniformes que se mezclan simétricamente debido al ruido cuántico. (c) Seguir realizando mediciones continuas en las dos unidades puede romper la simetría y revelar la asimetría causada por la inestabilidad de Turing.

Primero mostramos que un oscilador paramétrico degenerado monomodo con amortiguamiento no lineal en óptica cuántica71 puede considerarse una unidad de activador-inhibidor cuántico en el sentido de que la trayectoria determinista del sistema en el límite clásico obedece a la dinámica convencional del activador-inhibidor.

Denotamos por \(\omega _{0}\) la frecuencia de resonancia de la cavidad y por \(\omega _{p}\) la frecuencia del haz de la bomba de compresión. En el marco de coordenadas rotatorio de frecuencia \(\omega _{p}/2\), la evolución del operador de densidad \(\rho\) que representa el estado del sistema obedece a la ecuación maestra cuántica (QME)71

donde \([A, B] = AB - BA\) es el conmutador de dos operadores A y B, a es el operador de aniquilación que sustrae un fotón del sistema, \(a^{\dag }\) es la creación operador que agrega un fotón al sistema (\(\dag\) denota el conjugado hermitiano), \(\Delta = \omega _{0} - \omega _{p}/2\) es la desafinación de la frecuencia de resonancia del sistema a partir de la frecuencia media del haz de la bomba, \(\eta e^{ i \theta }\) (\(\eta \ge 0\)) es el parámetro de compresión que representa la amplitud efectiva del haz de la bomba, \ ({\mathcal {D}}[L]\rho = L \rho L^{\dag } - (\rho L^{\dag } L - L^{\dag } L \rho )/2\) es la forma de Lindblad que representa el acoplamiento del sistema con los yacimientos mediante el operador L (\(L=a\) o \(L=a^2\)), y \(\gamma _{1}~(>0) \) y \(\gamma _{2}~(>0)\) son las tasas de decaimiento para el amortiguamiento lineal y no lineal, es decir, la pérdida de un solo fotón y de dos fotones, respectivamente, debido al acoplamiento del sistema con el reservorios respectivos. La constante de Planck reducida se establece como \(\hbar = 1\).

Empleamos el método de espacio de fase72,73 y usamos la distribución de Wigner W(x, p) como la distribución de cuasiprobabilidad para representar el operador de densidad \(\rho\), donde x y p denotan la posición y el momento en el espacio de fase, respectivamente. Usando este enfoque, podemos transformar el QME en la ecuación de evolución para W(x, p) en el espacio de fase, que generalmente tiene términos derivados superiores al segundo orden. Cuando \(\gamma _2\) es pequeño, podemos despreciar los términos derivados de orden superior, y la ecuación de evolución para W(x, p) correspondiente a QME (1) puede aproximarse mediante una ecuación semiclásica de Fokker-Planck (FPE) o la correspondiente ecuación diferencial estocástica (SDE). Se encuentra que la trayectoria determinista en el límite clásico de QME (1), que desprecia el efecto del pequeño ruido cuántico y está dada por la parte determinista del SDE, obedece al siguiente sistema bidimensional:

Ver "Métodos" para la derivación detallada de las ecuaciones y la caracterización del régimen cuántico.

Al elegir adecuadamente los parámetros, el sistema clásico (2) obedece a la dinámica activador-inhibidor (ver "Métodos"). Establecemos los parámetros de manera que la posición x y el impulso p desempeñen los roles de las variables activadora e inhibidora, respectivamente, a saber, x mejora autocatalíticamente su propia producción mientras que p suprime el crecimiento de x. Se observa que el sistema sin amortiguamiento no lineal también puede comportarse como una unidad de activador-inhibidor cuántico, pero el amortiguamiento no lineal es necesario para evitar que el estado del sistema diverja hasta el infinito después de la desestabilización en el origen.

La figura 2a muestra el campo vectorial determinista de la ecuación. (2), donde las dos curvas representan inclinaciones nulas de x y p (en las que \({\dot{x}} = 0\) o \({\dot{p}} = 0\)) y su intersección en \ ((x,p) = (0, 0)\) corresponde a un punto fijo estable. La figura 2b muestra un gráfico de dispersión de una sola trayectoria del SDE semiclásico obtenido mediante simulaciones numéricas directas (DNS) en estado estacionario (ver "Métodos"), y la figura 2c muestra la distribución estacionaria de Wigner obtenida de QME (1). La trayectoria semiclásica y la distribución de Wigner se distribuyen alrededor del punto fijo clásico en el origen debido al ruido cuántico.

Unidad de activador-inhibidor cuántico. (a) Nullclines del campo vectorial determinista de Eq. (2). Las curvas azul y verde indican los conjuntos (x, p) que satisfacen \({\dot{x}} = 0\) y \({\dot{p}} = 0\), respectivamente. (b) Trayectoria estocástica de (x, p) obtenida de la SDE semiclásica. (c) Distribución estacionaria de Wigner W(x, p) obtenida del QME. Los parámetros son \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 0.4, \gamma _{2} = 0.1, \theta = \pi\) y \(\eta = 0.3\).

En la inestabilidad de Turing clásica, el estado estacionario uniforme de los sistemas activador-inhibidor distribuidos espacialmente se desestabiliza cuando se introduce la difusión de las especies activadora e inhibidora con la difusividad adecuada, lo que conduce a la formación de estados no uniformes23. En el escenario más simple, esta inestabilidad de Turing contraria a la intuición ya se puede observar en un sistema que consta de dos unidades activador-inhibidor acopladas por difusión con propiedades idénticas: un estado estacionario uniforme del sistema, en el que las dos unidades toman los mismos estados, se desestabiliza cuando las difusividades se eligen apropiadamente, lo que da como resultado la formación de un estado estacionario no uniforme, en el que las dos unidades se asientan en estados diferentes entre sí.

Como modelo cuántico que sufre inestabilidad de Turing, acoplamos de forma difusiva dos unidades de activador-inhibidor cuántico idénticas (denotadas 1 y 2), cada una de las cuales obedece a la Ec. (1). El sistema acoplado de las dos unidades se describe mediante un operador de densidad bimodal \(\rho\), que obedece al QME

donde \(a_j\) y \(a_j^{\dag }\) son los operadores de aniquilación y creación para la j-ésima unidad cuántica activadora-inhibidora (\(j = 1, 2\)), respectivamente. Los parámetros \(\Delta , \eta e^{ i \theta }, \gamma _1\) y \(\gamma _2\) son comunes a ambas unidades. En esta ecuación, la primera línea representa las dos unidades monomodo dadas por la ecuación. (1), y los términos recién introducidos en la segunda línea representan el acoplamiento entre las dos unidades. El primer término de acoplamiento se puede representar como una suma de términos comprimidos, es decir, \(- i \left[ i \frac{D_{h}}{4} \left\{ (a_1 - a_2)^2 \right. \ derecha.\) \(\izquierda. \izquierda. - (a_1^\dag - a_2^\dag )^2 \derecha\} , \rho \derecha] = \sum _{j=1,2} \izquierda( -i \left[ i \frac{D_{h}}{4} ( a_{j}^2 - a_{j}^{\dag 2}), \rho \right] \right) -i \left[ i \frac{D_{h}}{2} ( a_{1}^{\dag } a_{2}^{\dag } - a_{1} a_{2}), \rho \right]\), que pueden interpretarse como hamiltonianos de compresión monomodo y bimodo, respectivamente. El segundo término con \(D_{c}\) representa un acoplamiento disipativo, es decir, un acoplamiento que surge de procesos disipativos12,14. Se observa que la Ec. (3) es simétrica con respecto al intercambio de las unidades 1 y 2.

Al emplear el método de espacio de fase para sistemas de dos modos, la dinámica determinista en el límite clásico de QME (3) se puede derivar como (ver "Métodos")

donde \(x_j\) y \(p_j\) representan la posición y el momento de la j-ésima unidad en el espacio de fase de la distribución de Wigner de dos modos \(W(x_1, p_1, x_2, p_2)\)73. Vemos que dos unidades clásicas de activador-inhibidor, cada una de las cuales está descrita por la ecuación. (2), están acoplados de forma difusiva a través de la posición x (activador) y el momento p (inhibidor) por el último término de cada ecuación. Estos términos surgen de los hamiltonianos de compresión monomodo y bimodal cuyas intensidades se caracterizan por \(D_h\) y del acoplamiento disipativo cuya intensidad se caracteriza por \(D_c\) en la ecuación. (3). Las constantes de difusión de x y p en la ecuación. (4) están dadas por \(D_x = (D_{c} + D_{h})/2\) y \(D_p = (D_{c} - D_{h})/2\), respectivamente. Cabe señalar que el primer término caracterizado por \(D_h\) representa un acoplamiento hamiltoniano y no disipativo, pero actúa como un acoplamiento disipativo en la dinámica determinista en el límite clásico en la Ec. (4).

El sistema acoplado clásico descrito por la ecuación. (4) puede sufrir inestabilidad de Turing cuando se cumplen las condiciones de automejora local e inhibición de largo alcance (ver "Métodos"). Por lo tanto, el sistema activador-inhibidor cuántico, Eq. (3), también se espera que muestre inestabilidad de Turing cuando los valores de los parámetros se eligen apropiadamente. Nuestro objetivo en este estudio es aclarar si la inestabilidad de Turing puede ocurrir dentro del marco original de activador-inhibidor en la configuración más simple en sistemas cuánticos disipativos. Observamos que los requisitos de un par activador-inhibidor acoplado o la existencia de una solución homogénea pueden relajarse cuando consideramos modelos más generales53,54,55,56,57,58,59. En este estudio, nos enfocamos en el caso más simple de un par de unidades activadoras-inhibidoras cuánticas acopladas simétricamente y discutimos la inestabilidad cuántica de Turing en el sentido original de Turing23 y Gierer-Meinhardt24. Debido a su simplicidad, el modelo permite simulaciones numéricas directas de la dinámica cuántica y es el más susceptible de experimentación.

El sistema determinista (4) tiene un punto fijo en el origen del espacio de fase de 4 dimensiones, es decir, \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (0, 0, 0, 0)\), que es estable cuando el acoplamiento difusivo está ausente, es decir, \(D_x = D_p = 0\). Ambas unidades 1 y 2 se asientan en el origen, es decir, \((x_j, p_j) = (0, 0)\) para \(j=1, 2\); por lo tanto, todo el sistema toma un estado uniforme. Cuando se introduce el acoplamiento difusivo con difusividades apropiadas, este estado uniforme se desestabiliza por la inestabilidad de Turing y, en su lugar, aparece un par de puntos fijos no uniformes estables en \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (\pm A,\pm B,{\mp } A, {\mp } B)\) del sistema clásico determinista (4) (ver "Métodos").

En consecuencia, en el sistema cuántico (3), cuando el acoplamiento difusivo está ausente (\(D_x = D_p = 0\)), el estado de cada unidad se localiza alrededor del punto fijo estable en (0, 0) como se muestra en la Fig. 2a . Así, las dos unidades obedecen a la misma distribución y todo el sistema está en estado uniforme. Sin embargo, cuando las constantes de difusión se eligen adecuadamente, este estado uniforme se desestabiliza por la inestabilidad de Turing y da paso a estados no uniformes como se demuestra a continuación.

La Figura 3 muestra la inestabilidad de Turing en el régimen semiclásico observada por DNSs de QME (3). Se asumen los mismos parámetros que en la Fig. 2 para ambas unidades. Las dos unidades están desacopladas (\(D_x = D_p = 0\)) en las Fig. 3a, 3c, 3e, mientras que están acopladas con constantes de difusión apropiadas (\(D_x = 0.005, D_p = 0.995\)) en la Fig. 3b , 3d, 3f. Para visualizar la falta de uniformidad del estado del sistema \(\rho\), presentamos la distribución Q de Husimi de dos modas72,73 \(Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2 }\right) =\frac{1}{\pi ^{2}} \left\langle \alpha _1, \alpha _2 | \rho | \alpha _1, \alpha _2 \right\rangle\) con \(\ alpha _j = x_j + i p_j~(j = 1, 2)\) y usa las distribuciones marginales \(Q(x_1,x_2) = \int \int dp_1 dp_2 Q\left( x_{1}, p_{1} , x_{2}, p_{2}\right)\) y \(Q(p_1,p_2) = \int \int dx_1 dx_2 Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2}\right)\) de las variables de posición (activador) \(x_{1,2}\) y variables de impulso (inhibidor) \(p_{1,2}\) calculadas a partir de \(Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2}\right)\).

En las Fig. 3a, 3c sin acoplamiento difusivo, tanto \(Q(x_1, x_2)\) como \(Q(p_1, p_2)\) están distribuidas simétricamente alrededor del origen. Las variables de las dos unidades no están correlacionadas y estadísticamente exhiben la misma distribución. Por tanto, el estado \(\rho\) de todo el sistema formado por las dos unidades es simétrico y uniforme. En contraste, en la Fig. 3b, 3d con acoplamiento difusivo, \(Q(x_1, x_2)\) no es simétrico y toma dos extremos cerca de los dos puntos fijos clásicos \((x_1, x_2) = (A, -A) \) y \((-A, A)\), y de manera similar \(Q(p_1, p_2)\) toma dos extremos cerca de \((p_1, p_2) = (B, -B)\) y \(( -B, B)\). Por lo tanto, las dos unidades tienden a adoptar estados opuestos entre sí y el estado \(\rho\) de todo el sistema no es uniforme. Se observa que, debido al ruido cuántico, el estado del sistema es mixto y las distribuciones tienen dos picos simétricos cerca de los dos puntos fijos clásicos.

Las figuras 3e y 3f muestran las distribuciones marginales de Wigner \(W(x_1, p_1)\) y \(W(x_2, p_2)\) de las unidades 1 y 2 para los casos sin (e) y con (f) acoplamiento difusivo. Estas funciones de Wigner se obtienen a partir de los operadores de densidad marginal \(\rho _1 = \mathrm{Tr}\,_2[\rho ]\) y \(\rho _2 = \mathrm{Tr}\,_1[\rho ]\ ), donde \(\mathrm{Tr}\,_j[\cdot ]\) representa la traza parcial sobre el sistema j en el régimen semiclásico. Debido a la simetría de las dos unidades, \(W(x_1, p_1)\) y \(W(x_2, p_2)\) son idénticas entre sí. Además, las distribuciones de Wigner en la Fig. 3e sin acoplamiento difusivo son idénticas a las de una sola unidad que se muestra en la Fig. 2c. En la Fig. 3e sin acoplamiento difusivo, las distribuciones de Wigner tienen un solo pico en el origen, mientras que en la Fig. 3f con acoplamiento difusivo, las distribuciones de Wigner tienen dos picos simétricos cerca de los dos puntos fijos estables \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (\pm A,\pm B,{\mp } A, {\mp } B)\) del sistema clásico determinista (4) (ver "Métodos").

Los resultados anteriores indican claramente que la inestabilidad de Turing efectivamente ha ocurrido y ha resultado en la formación de estados estacionarios no uniformes en dos unidades de activador-inhibidor cuántico acopladas difusivamente descritas por la ecuación. (3). En este régimen, también podemos realizar simulaciones numéricas directas del SDE correspondiente, que visualizan claramente la falta de uniformidad causada por la inestabilidad de Turing (ver "Métodos").

Inestabilidad de Turing en un par de unidades activadoras-inhibidoras cuánticas acopladas por difusión en el régimen semiclásico. (a,b) Gráficos 2D de la distribución Q \(Q(x_1, x_2)\). (c, d) Gráficos 2D de la distribución Q \(Q(p_1, p_2)\). (e,f) Gráficos 3D de las distribuciones estacionarias de Wigner \(W(x_1, p_1)\) y \(W(x_2, p_2)\) de las unidades 1 y 2. Puntos rojos y amarillos en (a–d) representan puntos fijos estables del sistema determinista en el límite clásico. En (a,c,e), las dos unidades están desacopladas. Los estados de las unidades no están correlacionados y están localizados alrededor del origen; por lo tanto, todo el sistema está en un estado uniforme. En (b,d,f), las dos unidades están acopladas de forma difusiva. Debido a la inestabilidad de Turing, las dos unidades tienden a tomar estados diferentes entre sí; por lo tanto, todo el sistema es no uniforme. En (e,f), las distribuciones de Wigner para las unidades 1 y 2 son idénticas entre sí y, por lo tanto, se muestran como una sola gráfica. Los parámetros de las unidades activadoras-inhibidoras cuánticas son \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 0.4, \gamma _{2} = 0.1, \theta = \pi\), y \(\eta = 0.3\). Las constantes de difusión son \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) y \(D_c = 0\)) en (a,c,e) y \(D_x = 0.005\) y \(D_p = 0.995\) (\(D_h = -0.99\) y \(D_c = 1\)) en (b,d,f).

A continuación, mostramos los resultados para el régimen cuántico débil. Establecemos los parámetros de QME (3) en un régimen cuántico más profundo mientras mantenemos el sistema determinista en el límite clásico, Eq. (4), permanecen sin cambios con respecto al caso semiclásico anterior. Ver "Métodos" para la caracterización del régimen cuántico. La figura 4 muestra la inestabilidad de Turing en este régimen. Las dos unidades están desacopladas en las Fig. 4a, 4c, 4e, mientras que están acopladas con constantes de difusión apropiadas en las Fig. 4b, 4d, 4f.

Como en el caso semiclásico anterior, cuando el acoplamiento difusivo está ausente, las distribuciones Q marginales \(Q(x_1,x_2)\) y \(Q(p_1, p_2)\) del activador x y el inhibidor p están simétricamente localizadas alrededor del origen en la Fig. 4a, 4c. Cuando se introduce el acoplamiento difusivo, estas distribuciones conjuntas se vuelven no simétricas, lo que indica que las dos unidades están anticorrelacionadas y tienden a adoptar estados opuestos entre sí, como se muestra en las Fig. 4b, 4d. En este régimen, debido al fuerte amortiguamiento no lineal, los dos puntos fijos estables en el límite clásico están más cerca entre sí que en el régimen semiclásico. En consecuencia, la falta de uniformidad de las distribuciones conjuntas es menos pronunciada que en el caso semiclásico debido al efecto relativamente fuerte del ruido cuántico.

Inestabilidad de Turing en un par de unidades activadoras-inhibidoras cuánticas acopladas difusivamente en el régimen cuántico débil. (a,b) Gráficos 2D de la distribución Q \(Q(x_1, x_2)\). (c, d) Gráficos 2D de la distribución Q \(Q(p_1, p_2)\). (e,f) Gráficos 3D de las distribuciones estacionarias de Wigner \(W(x_1, p_1)\) y \(W(x_2, p_2)\) de las unidades 1 y 2 (idénticas entre sí). Los puntos rojos y amarillos en (a–d) representan puntos fijos estables del sistema determinista en el límite clásico. En (a,c,e), las dos unidades están desacopladas. Los estados de las unidades se localizan alrededor del origen y no están correlacionados entre sí. En (b,d,f), las dos unidades están acopladas de forma difusiva. Debido a la inestabilidad de Turing, las dos unidades tienden a tomar estados diferentes entre sí y muestran una distribución no uniforme. Los parámetros de las unidades activadoras-inhibidoras cuánticas son \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 1.2, \gamma _{2} = 0.5, \theta = \pi\), y \(\eta = 0.3\). Las constantes de difusión son \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) y \(D_c = 0\)) en (a,c,e) y \(D_x = 0.005\) y \(D_p = 0.995\) (\(D_h = -0.99\) y \(D_c = 1\)) en (b,d,f).

Las Figuras 4e y 4f muestran las distribuciones marginales de Wigner \(W(x_1, p_1)\) y \(W(x_2, p_2)\) de las unidades 1 y 2, que son idénticas entre sí, antes de (e) y después de ( f) la inestabilidad de Turing. En comparación con la distribución de Wigner en la Fig. 4e antes de la inestabilidad de Turing, la distribución de Wigner en la Fig. 4f después de la inestabilidad es más alargada a lo largo del eje en el que existen los dos puntos fijos estables clásicos, aunque los picos simétricos dobles como en el caso semiclásico son no observado debido al efecto más fuerte del ruido cuántico.

Así, aunque desdibujado por el ruido cuántico, el sistema sufre una transición del estado uniforme al estado no uniforme con la introducción del acoplamiento difusivo, es decir, la inestabilidad de Turing también ocurre en el régimen cuántico aquí considerado.

También consideramos un régimen cuántico fuerte con una mayor tasa de caída para el amortiguamiento no lineal. La figura 5 muestra la inestabilidad de Turing en este régimen. Como las fluctuaciones son más fuertes que en los dos casos anteriores debido al efecto de un ruido cuántico más fuerte, solo se puede observar una ligera falta de uniformidad. Como se muestra más adelante, la falta de uniformidad entre las dos unidades en este régimen se puede observar más claramente al usar la medición continua.

Inestabilidad de Turing en un par de unidades activadoras-inhibidoras cuánticas acopladas difusivamente en el régimen cuántico fuerte. (a,b) Gráficos 2D de la distribución Q \(Q(x_1, x_2)\). (c, d) Gráficos 2D de la distribución Q \(Q(p_1, p_2)\). (e,f) Gráficos 3D de las distribuciones estacionarias de Wigner \(W(x_1, p_1)\) y \(W(x_2, p_2)\) de las unidades 1 y 2 (idénticas entre sí). Los puntos rojos y amarillos en (a–d) representan puntos fijos estables del sistema determinista en el límite clásico. En (a,c,e), las dos unidades están desacopladas. Los estados de las unidades se localizan alrededor del origen y no están correlacionados entre sí. En (b,d,f), las dos unidades están acopladas de forma difusiva. Debido a la inestabilidad de Turing, las dos unidades tienden a tomar estados diferentes entre sí y muestran una distribución no uniforme. Los parámetros de las unidades activadoras-inhibidoras cuánticas son \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 6.2, \gamma _{2} = 3, \theta = \pi\), y \(\eta = 0.3\). Las constantes de difusión son \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) y \(D_c = 0\)) en (a,c,e) y \(D_x = 0.005\) y \(D_p = 0.995\) (\(D_h = -0.99\) y \(D_c = 1\)) en (b,d,f).

Hemos visto que la inestabilidad de Turing ocurre en un par de unidades activadoras-inhibidoras cuánticas acopladas difusivamente en los regímenes semiclásico, cuántico débil y cuántico fuerte. Aquí analizamos la dependencia del comportamiento del sistema con las constantes de difusión y la relación entre la inestabilidad de Turing y el entrelazamiento cuántico. Usamos los mismos conjuntos de parámetros para las unidades de activador-inhibidor cuántico que en las Figs. 3, 4 y 5 para los regímenes semiclásico, cuántico débil y cuántico fuerte, respectivamente.

La figura 6 traza el (i) valor propio máximo \(\lambda _{max}\) de la ecuación linealizada de la ecuación. (4) en el límite clásico (a, b), (ii) la raíz de la diferencia cuadrática media (RMSD) \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle } = \sqrt{\mathrm{Tr }\,[(x_1 - x_2)^2 \rho ]}\) cuantificando la falta de uniformidad entre las dos unidades (c, d, e), y (iii) negatividad \(\mathcal{N}\) (ver "Métodos ") que caracteriza el grado de entrelazamiento cuántico (f, g, h) en el plano \(D_x - D_p\), con respecto al estado estacionario de QME (3). Observamos que las Figs. 6a y 6b son comunes a todos los regímenes, las Figs. 6c y 6f son para el régimen semiclásico, las Figs. 6d y 6g son para el régimen cuántico débil, y las Figs. 6e y 6h son para el régimen cuántico fuerte.

Dependencia del valor propio, la falta de uniformidad y la negatividad de las constantes de difusión \(D_x\) y \(D_p\). (a, b) Valores propios máximos \(\lambda _{max}\). (b) muestra una ampliación de (a) cerca del origen. (c,d,e) Raíz cuadrática media de la distancia \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\). (f,g,h) Negatividad \({\mathcal {N}}\). En cada figura, la curva crítica de la inestabilidad de Turing en el límite clásico (es decir, en la que \(\lambda _{max} = 0\)) está representada por una curva de puntos negros y el punto rojo representa las difusividades \( (D_x, D_p) = (0,005, 0,995)\) utilizado en las Figs. 3, 4 y 5. Los parámetros son \(\Delta = -0.6, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\), y \(\frac{2 \gamma _{2} - \ gamma _{1}}{2} = -0,1\), donde \(\gamma _{1} = 0,4, \gamma _{2} = 0,1\) en el régimen semiclásico (c,f), \(\ gamma _{1} = 1,2, \gamma _{2} = 0,5\) en el régimen cuántico débil (d,g), \(\gamma _{1} = 6,2, \gamma _{2} = 3\) en el régimen cuántico fuerte (e,h).

Como se muestra en las Fig. 6a, 6b, el valor propio \(\lambda _{max}\) del estado uniforme es positivo en la región debajo de la curva punteada, donde la difusividad del inhibidor \(D_p\) es relativamente grande en comparación a la del activador \(D_x\). Se espera que la inestabilidad de Turing ocurra también en esta región del sistema cuántico. El punto rojo (\(D_x = 0.005, D_p = 0.995\)) representa las constantes de difusión en el límite clásico correspondiente a las Figs. 3, 4 y 5.

El RMSD representado en la figura 6c-6e muestra que la falta de uniformidad es de hecho causada por la inestabilidad de Turing en los regímenes semiclásico, cuántico débil y cuántico fuerte y está significativamente correlacionada con el valor propio máximo \(\lambda _{max}\) en el límite clásico. Hay una tendencia a que la falta de uniformidad sea más pronunciada en el régimen semiclásico (c), moderadamente en el régimen cuántico débil (d) y solo débilmente en el régimen cuántico fuerte (e), lo que refleja que el ruido cuántico es más débil y que el estado del sistema se localiza más claramente alrededor de los dos puntos fijos clásicos en este orden (véanse las figuras 3, 4 y 5).

La negatividad \(\mathcal{N}\) que se muestra en la Fig. 6f–6h también aumenta con \(\lambda _{max}\), lo que indica que el entrelazamiento cuántico entre las dos unidades también surge en el estado no uniforme producido por el Turing inestabilidad. Por lo tanto, el entrelazamiento tiende a estar positivamente correlacionado con la falta de uniformidad entre las dos unidades activador-inhibidor y se vuelve más fuerte en la parte inferior derecha donde \(D_x\) es pequeño mientras que \(D_p\) es grande en esta región de parámetros. Se observa que también surge una región de \(\mathcal{N}\) alta cuando \(D_p\) está cerca de cero mientras que \(D_x\) es relativamente grande, lo cual está fuera de la región inestable de Turing y simplemente muestra que las dos unidades ya están enredadas antes del inicio de la inestabilidad de Turing por los efectos de la compresión bimodal y el acoplamiento disipativo.

Hemos observado que la inestabilidad de Turing desestabiliza el estado uniforme del sistema de dos unidades y da lugar a la no uniformidad. Las distribuciones en el estado no uniforme se localizan alrededor de los dos puntos fijos clásicos como se observa en las Figs. 3, 4 y 5. Esto se puede interpretar como un estado mixto de mecánica cuántica de las dos situaciones clásicas donde el sistema converge a cualquiera de los dos puntos fijos estables. Por lo tanto, en contraste con la inestabilidad de Turing clásica en la que solo se realiza uno de los dos estados dependiendo de las condiciones iniciales, la simetría del sistema acoplado aún se conserva debido al ruido cuántico, incluso si el estado del sistema no es uniforme. Aquí, mostramos que realizar más mediciones continuas en el sistema puede romper esta simetría y revelar la verdadera asimetría del sistema, que solo se puede observar en los sistemas cuánticos. Se ha informado de una ruptura de simetría \({\mathbb {Z}}_2\) espontánea inducida por la medición similar en un sistema de cadena de espín74.

Introducimos la medición continua en el baño de amortiguamiento lineal (pérdida de fotón único) acoplado a cada unidad en QME (3). Las ecuaciones maestras estocásticas (SME) que describen el sistema y los resultados de la medición vienen dadas por75

donde la primera ecuación describe la evolución estocástica del operador densidad \(\rho\) de todo el sistema bajo el efecto de la medida y la segunda ecuación describe el resultado \(Y_j\) (\(j=1, 2\) ) de la medida en cada unidad. El término \({\mathcal {H}}[L]\rho = L \rho + \rho L^{\dag } - \mathrm{Tr}\,[(L + L^\dagger ) \rho ]\ rho\) representa el efecto de la medición realizada en la cuadratura \(L + L^{\dag }\); \(\kappa _j\) y \(\phi _j~(0 \le \kappa _j \le 1, 0 \le \phi _j < 2 \pi )\) representan la eficiencia y el ángulo de cuadratura de la medición en el j-ésimo unidad \(~(j = 1,2)\), respectivamente; \(Y_j\) es la salida del resultado de la medición en la j-ésima unidad \(~(j = 1,2)\); y \(dW_{1}\) y \(dW_{2}\) representan procesos de Wiener independientes que satisfacen \(\langle {dW_k(t) dW_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) para \(k,l = 1, 2\). A diferencia de QME, que brinda resultados promediados sobre todos los resultados de medición posibles, este SME brinda una trayectoria cuántica única del sistema bajo la medición continua y puede revelar la ruptura de simetría del sistema, que se conserva debido al ruido cuántico en el estado estacionario. de QME.

La figura 7 muestra el comportamiento del sistema bajo medida continua en el régimen semiclásico. Los parámetros son los mismos que en la Fig. 3b, 3d, 3f, es decir, el estado uniforme del sistema ha sido desestabilizado por la inestabilidad de Turing. Considerando que la falta de uniformidad es más pronunciada en la variable de posición x que en la variable de momento p en la Fig. 3d, establecemos \(\phi _j = 0\) y realizamos la medición en la cuadratura \(x_j = (a_j + a_j^ \dag )/2\) (\(j=1, 2\)), que es conjugado a la cantidad de movimiento \(p_j\), de ambas unidades. Establecemos la eficiencia de medición como \(\kappa _j = 0.25\) (\(j = 1, 2\)) para ambas unidades y el estado inicial de todo el sistema como el estado de vacío bimodal.

Inestabilidad de Turing bajo medida cuántica continua en el régimen semiclásico. (a,b) Gráficos de instantáneas en 3D de las distribuciones de Wigner \(W(x_1, p_1)\) y \(W(x_2, p_2)\) en \(t = 50\). (c,d,e,f) Evolución temporal de los valores medios de los operadores de posición y momento para dos unidades: (c) \(\langle x_1 \rangle\), (d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\), y (f) \(\langle p_2 \rangle\). (g) Evolución temporal de la negatividad \(\mathcal{N}\). Los parámetros son \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 0.4, \gamma _{2} = 0.1, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\), \(D_h = -0.99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0.005\) y \(D_p = 0.995\)), y \(\phi _j = 0\) y \(\kappa _j = 0.25\) para ambos \(j = 1,2\). En (f), la línea negra representa el valor para el estado estable del sistema sin realizar la medición.

Las Figuras 7a y 7b muestran las distribuciones marginales instantáneas de Wigner \(W(x_1, p_1)\) de \(\rho _1\) y \(W(x_2, p_2)\) de \(\rho _2\) en el momento \ (t = 50\) suficientemente después del transitorio inicial, obtenido por un DNS de SME (5). En contraste con la Fig. 3f, estas distribuciones de Wigner no son estacionarias y continúan fluctuando debido a la medición continua. Cada distribución se localiza alrededor de cualquiera de los dos puntos fijos estables del sistema clásico (4) y tiende a tomar el estado opuesto al otro.

La anticorrelación entre los estados de las dos unidades es evidente en la figura 7c-7f, donde la evolución temporal de los valores promedio de los operadores de posición y cantidad de movimiento de ambas unidades, \(\langle {x_j}\rangle = \mathrm{Tr }\,[( (a_j + a^\dag _j)/2 )\rho ]\) y \(\langle {p_j}\rangle = -i \mathrm{Tr}\,[( (a_j - a^\ dag _j)/2 )\rho ]\) (\(j = 1,2\)), obtenidos a partir de una única trayectoria estocástica de SME cuántica (5). Las dos unidades alternan aleatoriamente entre los dos estados no uniformes y tienden a adoptar estados opuestos entre sí. Esto indica claramente que la simetría preservada por el ruido cuántico se rompe y que la asimetría provocada por la inestabilidad de Turing en el sentido clásico se revela mediante la extracción de información sobre las variables x de las dos unidades mediante medición continua.

La Figura 7g muestra la evolución temporal de la negatividad \(\mathcal {N}\) bajo la medición continua. Las dos unidades están claramente entrelazadas y el grado de entrelazamiento fluctúa continuamente alrededor del valor de \(\mathcal {N}\) en el estado estacionario cuando no se realiza la medición.

De manera similar, la Fig. 8 muestra el efecto de la medición continua en el régimen cuántico débil que se muestra en la Fig. 4. Observamos resultados cualitativamente similares a los del caso semiclásico en la Fig. 7 en el régimen cuántico. Aunque la falta de uniformidad es menos pronunciada, la negatividad es ligeramente mayor en promedio y las fluctuaciones son más fuertes debido al efecto del ruido de medición cuántica más fuerte. En particular, la negatividad toma valores mayores que el caso sin realizar la medición, lo que indica que la ruptura de la simetría debido a la medición continua induce un enredo más fuerte en este régimen.

Inestabilidad de Turing bajo medida cuántica continua en el régimen cuántico débil. (a,b) Gráficos de instantáneas en 3D de las distribuciones de Wigner \(W(x_1, p_1)\) y \(W(x_2, p_2)\) en \(t = 49,3\). (c,d,e,f) Evolución temporal de los valores medios de los operadores de posición y momento para dos unidades: (c) \(\langle x_1 \rangle\), (d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\), y (f) \(\langle p_2 \rangle\). (g) Evolución temporal de la negatividad \(\mathcal{N}\). Los parámetros son \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 1.2, \gamma _{2} = 0.5, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\), \(D_h = -0.99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0.005\) y \(D_p = 0.995\)), y \(\phi _j = 0\) y \(\kappa _j = 0.25\) para ambos \(j = 1,2\). En (f), la línea negra representa el valor para el estado estable del sistema sin realizar la medición.

Finalmente, mostramos en la Fig. 9 el efecto de la medición continua en el régimen cuántico fuerte que se muestra en la Fig. 5. Aunque las fluctuaciones son más fuertes debido al efecto del ruido de medición cuántica más fuerte que en los dos casos anteriores, la falta de uniformidad entre dos unidades, que era bastante pequeña en la Fig. 5, se mejora y se observa más explícitamente bajo la medición continua. Además, la negatividad toma valores mayores que el caso sin medición también en este régimen cuántico fuerte. Consulte también las Películas complementarias para conocer la evolución temporal de las distribuciones marginales de Wigner de las dos unidades.

Inestabilidad de Turing bajo medición cuántica continua en el régimen cuántico fuerte. (a,b) Gráficos de instantáneas en 3D de las distribuciones de Wigner \(W(x_1, p_1)\) y \(W(x_2, p_2)\) en \(t = 50\). (c,d,e,f) Evolución temporal de los valores medios de los operadores de posición y momento para dos unidades: (c) \(\langle x_1 \rangle\), (d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\), y (f) \(\langle p_2 \rangle\). (g) Evolución temporal de la negatividad \(\mathcal{N}\). Los parámetros son \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 6.2, \gamma _{2} = 3, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\), \(D_h = -0.99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0.005\) y \(D_p = 0.995\)), y \(\phi _j = 0\) y \(\kappa _j = 0.25\) para ambos \(j = 1,2\). En (f), la línea negra representa el valor para el estado estable del sistema sin realizar la medición.

Hemos demostrado teóricamente que la inestabilidad de Turing puede ocurrir en un sistema disipativo cuántico. Demostramos que un oscilador paramétrico degenerado con amortiguamiento no lineal puede considerarse como una unidad de activador-inhibidor cuántico y que el acoplamiento difusivo entre dos unidades de activador-inhibidor cuántico de este tipo puede dar lugar a la inestabilidad de Turing cuando las difusividades de las variables activador e inhibidor se eligen adecuadamente. . Debido a la inestabilidad de Turing, el sistema se vuelve no uniforme pero aún permanece en un estado de mezcla simétrica por efecto del ruido cuántico. La realización adicional de mediciones cuánticas continuas rompe la simetría y revela la asimetría entre las dos unidades.

Suponemos que la configuración física asumida en nuestro modelo puede, en principio, implementarse utilizando dispositivos experimentales actualmente disponibles. La unidad de activador-inhibidor cuántico es esencialmente un oscilador paramétrico degenerado con amortiguamiento no lineal71. Los términos de acoplamiento a través de la compresión se pueden implementar ajustando el parámetro de compresión monomodo de los dos sistemas de activador-inhibidor cuántico e introduciendo la compresión de dos modos76. El término de acoplamiento disipativo podría realizarse acoplando indirectamente los dos osciladores a través de una cavidad adicional y eliminándolo adiabáticamente77; También se han propuesto enfoques similares para realizar acoplamientos disipativos entre conjuntos de átomos16 y osciladores optomecánicos Stuart-Landau14. Otro posible enfoque para la realización experimental de las configuraciones propuestas sería utilizar optomecánica de "membrana en el medio"78. También se han propuesto implementaciones físicas de compresión monomodo y amortiguamiento no lineal79, acoplamiento disipativo14 y compresión bimodal80. Esperamos que nuestros resultados numéricos para las distribuciones de Wigner puedan observarse experimentalmente mediante tomografía cuántica81. La implementación experimental de la medición cuántica continua también ha sido reportada recientemente82.

En este estudio, analizamos numéricamente un par de unidades activadoras-inhibidoras cuánticas que exhiben inestabilidad de Turing en el límite determinista clásico. Para los sistemas clásicos, se han aplicado enfoques perturbativos analíticos a la ecuación maestra clásica para predecir patrones estocásticos de Turing41,83,84,85. Es posible que podamos emplear enfoques perturbativos similares para la ecuación maestra cuántica12 y analizar la inestabilidad cuántica de Turing con más detalle.

La unidad de activador-inhibidor cuántico también podría implementarse utilizando sistemas de espín cuántico, lo cual es interesante porque los sistemas de espín cuántico pequeños pueden ayudarnos a hacer frente al aumento exponencial en las dimensiones del espacio de Hilbert para redes cuánticas grandes17. Al igual que en estudios previos que analizaron los efectos Kerr15,86 y los saltos cuánticos87 en la formación de patrones de desequilibrio en sistemas disipativos cuánticos, sería importante aclarar la relación entre la inestabilidad de Turing y los efectos cuánticos fuertes. Un análisis sistemático más detallado sobre la relación entre la inestabilidad de Turing y el entrelazamiento es también un estudio futuro.

Aunque analizamos solo la configuración mínima de dos unidades en este estudio, podemos considerar la inestabilidad de Turing en redes más grandes de unidades de activador-inhibidor cuántico, similar a la inestabilidad de Turing en redes de sistemas clásicos de activador-inhibidor 45,46,47,48 ,49. En comparación con estudios previos sobre los efectos cuánticos en la formación de patrones ópticos no lineales35,36, que no son fáciles de analizar incluso numéricamente porque se requieren cálculos de todos los productos del operador37, el sistema activador-inhibidor propuesto en este estudio puede extenderse a redes más grandes con mayor facilidad. Por lo tanto, puede usarse para revelar la aparición novedosa de patrones autoorganizados en sistemas disipativos cuánticos, similar a estudios previos sobre la transición de Kuramoto12, estados de quimera cuántica88 y muerte por oscilación89 en redes de osciladores cuánticos Stuart-Landau conectadas globalmente. Aunque en este estudio nos enfocamos en un par de unidades acopladas de activador-inhibidor, también podemos acoplar muchas unidades en una red o red de unidades y analizar la formación de patrones espacio-temporales en sistemas disipativos completamente mecánicos cuánticos.

La inestabilidad cuántica de Turing también puede encontrar aplicaciones técnicas. Por ejemplo, la amplificación de señales cerca de los puntos de bifurcación se ha investigado teóricamente en sistemas biológicos clásicos90,91 y otros sistemas no lineales clásicos92, a nanoescala93 y cuánticos94, y se han implementado experimentalmente95 amplificadores de señal que utilizan bifurcaciones no lineales. De manera similar, la bifurcación de Turing en los sistemas disipativos cuánticos también puede ofrecer nuevas aplicaciones de ingeniería para la amplificación de señales cuánticas y la detección cuántica.

Como la inestabilidad de Turing es un paradigma de autoorganización fuera del equilibrio en sistemas clásicos96, creemos que nuestros resultados sobre la posibilidad de inestabilidad de Turing en sistemas cuánticos disipativos también juegan un papel importante en el estudio de la autoorganización en sistemas cuánticos y serán relevantes en el creciente campo de la tecnología cuántica.

Un sistema activador-inhibidor clásico se describe generalmente por

donde \((\dot{})\) denota la derivada del tiempo y x y p representan las variables activadora e inhibidora, respectivamente. Suponemos que este sistema tiene un punto fijo estable en \((x, p) = ({\bar{x}}, {\bar{p}})\). Denotando pequeñas variaciones de \(({\bar{x}}, {\bar{p}})\) como \(\delta x = x - {\bar{x}}\) y \(\delta p = p - {\bar{p}}\) y linealizando la ecuación. (6), obtenemos

donde suponemos que los coeficientes satisfacen

Estas son las condiciones en las que x es el activador y p es el inhibidor. Estas condiciones estándar se pueden suavizar en entornos más generales55, pero restringimos nuestro enfoque en los casos que satisfacen estas condiciones.

Consideramos dos unidades activador-inhibidor acopladas por difusión con propiedades idénticas, descritas por

donde \(D_x\) y \(D_p\) representan las constantes de difusión de las variables activadora e inhibidora, respectivamente. Este sistema acoplado tiene un punto fijo trivial \((x_1, p_1, x_2, p_2) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}, {\bar{x}}, {\bar{p }})\), que corresponde a un estado uniforme de todo el sistema.

En la inestabilidad de Turing, contrariamente a nuestra intuición, este estado uniforme puede ser desestabilizado por el efecto de la difusión cuando los parámetros satisfacen las condiciones adecuadas. Para ver esto, linealizamos la Ec. (9) como

donde \(\delta x_j = x_j - {\bar{x}}\) y \(\delta p_j = p_j - {\bar{p}}\) (\(j=1, 2\)) son pequeñas variaciones . El valor propio máximo de la matriz jacobiana en la ecuación. (10) está dada por

Por tanto, cuando \(\lambda _{max} > 0\), es decir, cuando

el punto fijo uniforme \((x_1, p_1, x_2, p_2) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}, {\bar{x}}, {\bar{p}})\ ) del sistema acoplado se desestabiliza.

En nuestro modelo, las funciones f y g están dadas por

donde \(\gamma _1, \gamma _2, \eta\) y \(\Delta\) son parámetros. Las derivadas de f y g en este punto fijo están dadas por

Con los valores de los parámetros utilizados en el presente estudio, el sistema único en Eq. (6) tiene un punto fijo estable en \((x, p) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}) = (0, 0)\), las condiciones en Eq. (8) para que el sistema único sea del tipo activador-inhibidor se satisfacen, y la condición para la inestabilidad de Turing en la ecuación. (12) se puede satisfacer para un par de unidades activadoras-inhibidoras cuánticas acopladas por difusión.

A medida que se produce la inestabilidad de Turing, el punto fijo trivial (0, 0, 0, 0) del sistema se desestabiliza, y dos nuevos puntos fijos estables,

que corresponden a los estados no uniformes de todo el sistema, surgen a través de la bifurcación de horca supercrítica, donde

Con los valores de los parámetros utilizados en este estudio, las derivadas de f y g son \(f_x = 0,5\), \(f_p = -0,6\), \(g_x = 0,6\) y \(g_p = -0,7\) . En las Figs. 3 y 4, el valor propio máximo del punto fijo uniforme es \(\lambda _{max} \approx 0.3724 > 0\); por lo tanto, la inestabilidad de Turing ya se ha producido.

Generalmente consideramos un sistema disipativo cuántico con N modos, que está acoplado con n depósitos. Denotamos por \(a_1, \ldots , a_N\) y \(a_1^{\dag }, \ldots , a_N^{\dag }\) los operadores de aniquilación y creación del sistema, respectivamente. Una forma general del QME que describe este sistema disipativo cuántico viene dada por

donde \(\rho\) es el operador de densidad que representa el estado del sistema, H es un hamiltoniano del sistema, \(L_{j}\) es un operador de acoplamiento entre el sistema y el reservorio jth \((j=1,\ldots , n)\), y \({\mathcal {D}}[L]\rho = L \rho L^{\dag } - (\rho L^{\dag } L + L^{\dag } L \ rho )/2\) es la forma de Lindblad72,73.

Usando el método estándar de representación del espacio de fase72,73, podemos introducir la distribución de Wigner \(W({{\varvec{\alpha }}}) \in {{\mathbb {R}}}\) de \( \rho\) como

donde \({{\varvec{\alpha }}} = ( \alpha _1, \alpha ^*_1, \ldots , \alpha _N, \alpha ^*_N ) \in {{\mathbb {C}}}^ {2N}\) representa la variable de estado en el espacio de fase de 2N dimensiones, \(D( {\varvec{\lambda }}, {\varvec{a}}) = \exp \left( \sum _{j} (\lambda _j a_j^{\dagger } - \lambda _j^{*} a_j) \right)\), \(d^{2N} {\varvec{\lambda }} = d \lambda _1 d \lambda ^ *_1 \ldots d \lambda _N d \lambda ^*_N\), \(\alpha _j, \alpha _j^* \in {\mathbb {C}}\), \(\lambda _j,\lambda _j^ * \in {\mathbb {C}}\), y \({}^*\) indica conjugado complejo. QME (17) para el operador de densidad \(\rho\) se puede transformar en una ecuación diferencial parcial para la distribución de Wigner \(W({{\varvec{\alpha }}})\)72,73, dada por

Aquí, el operador diferencial \({\mathcal {L}}_p\) se puede calcular explícitamente a partir de la ecuación. (17) utilizando el cálculo estándar72,73.

Cuando el efecto cuántico es relativamente débil, podemos despreciar los términos derivados superiores al segundo orden en la Ec. (19). Luego, al introducir una representación de valor real de la variable del espacio de fase, \({\varvec{X}} = (x_1, p_1, \ldots, x_N, p_N)\) con \(\alpha _j = x_j + i p_j\) (\(j=1, \ldots,N\)), podemos aproximar la ecuación. (19) por el FPE semiclásico para \(W({{\varvec{X}}})\),

Aquí, \({{\varvec{A}}}({\varvec{X}}) \in {\mathbb {R}}^{2N}\) es el vector de deriva, y \({{\varvec {D}}}({\varvec{X}}) \in {\mathbb {R}}^{2N \times 2N}\) representa la matriz de difusión. El SDE correspondiente al FPE anterior viene dado por

Aquí, \({{\varvec{A}}}({{\varvec{X}}})\) es lo mismo que en la ecuación. (20), la matriz \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) \in {{\mathbb {R}}}^{2N}\) representa la intensidad de ruido que satisface \( {{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) {{\varvec{G}}}^T({\varvec{X}}) = {{\varvec{D}}}({ \varvec{X}})\) con T representando la matriz transpuesta, y \(d{\varvec{W}} = ( dw_1, \ldots , dw_{2N}) \in {{\mathbb {R}}} ^{2N}\) representa un vector de procesos de Wiener independientes que satisfacen \(\langle {dw_k(t)dw_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) con \(k,l = 1, \ l puntos , 2N\). La trayectoria determinista en el límite clásico viene dada por el término determinista del SDE, a saber, \(\dot{{\varvec{X}}} = {{\varvec{A}}}({\varvec{X}} )\).

Aquí damos formas explícitas de la ecuación aproximada de Fokker-Planck (FPE) y la ecuación diferencial estocástica semiclásica (SDE) derivadas de la ecuación maestra cuántica (QME) (3) para dos unidades de activador-inhibidor cuántico acopladas difusivamente,

Usando el cálculo estándar para la representación del espacio de fase72,73, podemos derivar la siguiente ecuación diferencial parcial que representa la evolución temporal de la distribución de Wigner \(W({{\varvec{\alpha }}}, t)\) para \({\varvec{\alpha }} = (\alpha _1, \alpha _1^*,\alpha _2,\alpha _2^*)\) de la ecuación. (22) :

dónde

De ahora en adelante, \({\overline{j}}\) denota \({\overline{j}} = 2\) cuando \(j=1\) y \({\overline{j}}=1\ ) cuando \(j = 2\), y cc denota el complejo conjugado.

En el régimen semiclásico donde \(\gamma _2\) es lo suficientemente pequeño, los términos derivados de tercer orden en Eq. (23) puede despreciarse11,15,89 y los coeficientes de los términos derivados de segundo orden son positivos. Por lo tanto, la ecuación. (23) puede ser aproximado por el FPE

Usando una representación de valor real, es decir, \({\varvec{X}} = (x_1, p_1, x_2, p_2)\) con \(\alpha _j = x_j + i p_j~(j = 1,2)\ ), Ec. (25) se puede reescribir como

dónde

Por lo tanto, el vector de deriva está dado por \({\varvec{A}}({\varvec{X}}) = (A_{x_1}, A_{p_1}, A_{x_2}, A_{p_2})\) y la matriz de difusión \({{\varvec{D}}}({\varvec{X}})\) se expresa como

donde definimos

El SDE correspondiente a FPE (26) viene dado por

donde \({{\varvec{G}}}({{\varvec{X}}})\) satisface \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) {{\varvec {G}}}^T({\varvec{X}}) = {{\varvec{D}}}({\varvec{X}})\) y \(d{\varvec{W}}(t )\) \(= ( dw_1(t),\) \(dw_2(t),\) \(dw_3(t)\), \(dw_4(t))^T\) es un vector de procesos Wiener independientes satisfaciendo \(\langle {dw_k(t)dw_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) para \(k,l = 1,2,3,4\).

Cuando \(D_{c} = 0\), tenemos \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) = {\text {diag}}\left( \sqrt{v_{ 1}/2}, \sqrt{v_{1}/2}, \sqrt{v_{2}/2}, \sqrt{v_{2}/2} \right)\). Cuando \(D_{c} \ne 0\), la matriz de difusión \({\varvec{D}}({\varvec{X}})\) se puede diagonalizar usando la matriz

como

dónde

y

Por lo tanto, la matriz \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}})\) se puede elegir como \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) = {\varvec{U}}({\varvec{X}}) \sqrt{{\varvec{D}}'({\varvec{X}})} {\varvec{U}}^{-1} ({\varvec{X}})\)89, es decir,

Además del QME, también realizamos simulaciones numéricas directas del SDE semiclásico (30) correspondiente al FPE (26) para mostrar la relación de las distribuciones de los estados cuánticos con los puntos fijos clásicos tras la inestabilidad de Turing. Por ejemplo, las figuras complementarias S1(a) y S1(b) muestran diagramas de dispersión de una trayectoria estocástica de dos unidades activadoras-inhibidoras cuánticas acopladas por difusión, y la figura S1(c) muestra el diagrama 2D de la distribución de Wigner \(W( x_{1,2}, p_{1,2})\) en la Fig. 3f. En las Figs. S1(a) y S1(b), los estados de las unidades 1 y 2 van y vienen estocásticamente entre los dos puntos fijos estables debido al ruido cuántico. Estos diagramas de dispersión concuerdan con las distribuciones de Wigner distribuidas alrededor de los dos puntos fijos estables en la figura S1 (c).

Caracterizamos el grado del efecto cuántico a medida que el parámetro de amortiguamiento no lineal \(\gamma _2\) varía utilizando la precisión de la aproximación semiclásica. La discrepancia entre la aproximación semiclásica y el QME original caracteriza la profundidad del sistema en el régimen cuántico. Para mantener los parámetros de los sistemas clásicos correspondientes sin cambios, el parámetro de amortiguamiento lineal se elige como \(\gamma _1 = \gamma _1' + 2 \gamma _2\), donde \(\gamma _1'\) es una constante, y los demás parámetros se fijan en los mismos valores que los utilizados anteriormente.

Las Figuras 10a, 10b y 10c representan el número promedio de fotones en ambas unidades y la falta de uniformidad \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\) como funciones del parámetro de amortiguamiento no lineal \(\gamma _2\). Aquí, el número promedio de fotones se calcula como un conjunto promedio \(\langle { a_j^\dag a_j }\rangle = \mathrm{Tr}\,[ a_j^\dag a_j \rho ]~(j=1,2 )\) de \(a_j^\dag a_j\) obtenido del QME y como promedio \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j}\rangle _{{\varvec{\alpha }}}\) de \(\alpha _j \alpha ^*_j\) obtenido de la SDE semiclásica, donde la relación

se mantiene aproximadamente en el régimen semiclásico. Los resultados semiclásicos se aproximan bien a los resultados del QME en el régimen con pequeño \(\gamma _2\), y el error debido a la aproximación semiclásica aumenta gradualmente al aumentar \(\gamma _2\). Así, cuando \(\gamma _2 = 0.1\) (Figs. 2, 3, 6c, 6f y 7), la aproximación semiclásica es válida y el sistema está en el régimen semiclásico, mientras que cuando \(\gamma _2 = 0.5 \) (Figs. 4, 6d, 6g y 8) y \(\gamma _2 = 3\) (Figs. 5, 6e, 6h y 9), la aproximación semiclásica ya no es válida y el sistema está en régimen cuántico . El grado de efecto cuántico también se puede caracterizar por la pureza, como se muestra en la Fig. 10d, donde la pureza aumenta con el aumento de \(\gamma _2\). También mostramos en la figura 10e-10g los elementos de la matriz de densidad de una sola unidad \(\rho _1\) con respecto a la base numérica en el régimen semiclásico (e), cuántico débil (f) y cuántico fuerte ( gramo). Vemos que el nivel de energía hasta el cual los elementos de la matriz de densidad toman un valor distinto de cero se vuelve más bajo y la discreción del espectro de energía se vuelve más prominente con el aumento de \(\gamma _2\).

Caracterización del régimen cuántico: número de fotones promedio, no uniformidad, pureza y elementos de la matriz de densidad de una sola unidad vs. \(\gamma_2\). (a) Número medio de fotones de la unidad 1. (b) Número medio de fotones de la unidad 2. (c) Raíz cuadrática media de la distancia \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\) (d ) Pureza P. (e–g) Elementos de la matriz de densidad de una sola unidad \(\rho _1\) con respecto a la base numérica en el régimen semiclásico (e), cuántico débil (f) y cuántico fuerte (g ). En (a–c), resultados obtenidos del SDE semiclásico \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j}\rangle_{{\varvec{\alpha }}} - 1/2\) (puntos rojos) y QME \(\langle {a_j^\dag a_j}\rangle\) (líneas azules) (\(j=1, 2\)), donde \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j} \rangle _{{\varvec{\alpha }}}\) se calcula como un promedio de tiempo de \(\alpha _j(t) \alpha ^*_j(t)\) durante un intervalo de tiempo de longitud 30000 después de la inicial transitorio. Los parámetros son \(\Delta = -0.6, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\), \(D_h = -0.99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0.005 \) y \(D_p = 0.995\)), y \(\gamma _{1} = \gamma '_1 + 2 \gamma _2\) con \(\gamma '_1 = 0.2\). En (p. ej.), \(\gamma _2 = 0,1\) (e), \(\gamma _2 = 0,5\) (f), \(\gamma _2 = 3\) (g).

Usamos la negatividad \({\mathcal {N}} = ({\left\| \rho ^{\Gamma _{1}}\right\| _{1}-1})/{2}\) para cuantificar el entrelazamiento cuántico de las dos unidades, donde \(\rho ^{\Gamma _{1}}\) representa la transposición parcial del operador de densidad \(\rho\) del sistema de dos modos con las unidades 1 y 2 con respecto a la unidad 1 y \(\left\| X\right\| _{1}={\text {Tr}}|X|={\text {Tr}} \sqrt{X^{\dagger } X }\)97,98. Una negatividad distinta de cero indica que las dos unidades están enredadas. Tenga en cuenta que la negatividad \(\mathcal{N}' = ({\left\| \rho ^{\Gamma _{2}}\right\| _{1}-1})/{2}\) calculada con respecto a la unidad 2 es igual a la negatividad \(\mathcal{N}\) calculada respecto a la unidad 1.

Todos los datos generados o analizados durante este estudio se incluyen en este artículo publicado y sus archivos de información complementaria.

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Las simulaciones numéricas se realizaron utilizando la caja de herramientas numérica QuTiP99,100. Agradecemos a JSPS KAKENHI JP17H03279, JP18H03287, JPJSBP120202201, JP20J13778, JP22K14274, JP22K11919, JP22H00516 y JST CREST JP-MJCR1913 por su apoyo financiero.

Departamento de Sistemas Complejos e Inteligentes, Future University Hakodate, Hokkaido, 041-8655, Japón

yuzuru kato

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Control, Instituto de Tecnología de Tokio, Tokio, 152-8552, Japón

Hiroya Nakao

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Ambos autores diseñaron el estudio, llevaron a cabo el análisis y contribuyeron a escribir el artículo. YK realizó simulaciones numéricas.

Correspondencia a Yuzuru Kato.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Kato, Y., Nakao, H. Inestabilidad de Turing en sistemas de activador-inhibidor cuántico. Informe científico 12, 15573 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-19010-0

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Recibido: 07 Abril 2022

Aceptado: 23 de agosto de 2022

Publicado: 16 septiembre 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-19010-0

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